เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา

Transcript

กว่า 2,000 ปีก่อน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อ ยูคลิด ได้สร้างความเข้าใจในเรื่อง ‘ที่ว่าง’ ให้กับเรา

ยูคลิด 300 ปีก่อนคริสตกาล

เขากล่าวว่า เส้นตรงนั้นคือเส้นที่สั้นที่สุดที่เชื่อมระหว่างจุดสองจุด

และถ้าให้จุดที่ไม่อยู่บนเส้นมาหนึ่งจุด

จะสามารถวาดเส้นที่ผ่านจุดนี้และขนานกับเส้นที่ให้มาตอนแรกได้

แนวคิดที่เรียบง่ายของยูคลิดนี้ ดูจะเป็นเรื่องที่เข้าใจได้ง่ายและยากที่จะโต้เถียง

แต่จริงหรือที่ความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิตแบบนี้ อธิบายโลกของเราได้ดีที่สุด

เรขาคณิตแบบอิลลิปติก

นักคณิตศาสตร์ครุ่นคิดและสงสัยว่า รูปแบบของเรขาคณิตจะเป็นอย่างไร ถ้าคุณไม่สามารถวาดเส้นขนานได้

และโลกของเราจะดูเป็นอย่างไร?

น่าประหลาดใจที่มันเป็นเรื่องซึ่งใกล้ตัวเรามากๆ ลองคิดถึงเส้นตรงที่เป็นเส้นวงกลมใหญ่ ซึ่งแบ่งลูกโลกออกเป็นสองซีกเท่ากัน

ถ้าเส้นศูนย์สูตรเป็น ‘เส้นตรง’ เส้นแรกของคุณ วงกลมใหญ่ใดๆ ก็ตามที่ผ่านจุด P จะต้องตัดกับเส้นศูนย์สูตรด้วยเสมอ

เพราะฉะนั้นแล้ว ไม่มีเส้นวงกลมใหญ่ใดๆ ที่จะสามารถขนานกันได้

เพราะฉะนั้นแล้ว เรขาคณิตที่ไม่มีเส้นขนานก็คือ เรขาคณิตบนพื้นผิวของทรงกลม

บางครั้งมันถูกเรียกว่า เรขาคณิตแบบอิลลิปติก และถูกใช้โดยนักบิน ซึ่งจะต้องบินในเส้นทางตามแนวของ ‘วงกลมใหญ่’ เมื่อพวกเขาบินข้ามโลก

เรขาคณิตแบบยูคลิด = เส้นขนานหนึ่งเส้น
เรขาคณิตแบบอิลลิปติก = ไม่มีเส้นขนาน

เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิค

แต่เรขาคณิตจะเป็นอย่างไร ถ้าคุณสามารถมีเส้นจำนวนมากที่ผ่านจุดหนึ่ง และยังขนานกับเส้นเริ่มต้น?

ในช่วงต้นของศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ 2 คน โบลไยและโลบาเชฟสกี ได้บรรยายโลกที่แสนจะนามธรรมนี้

ยานอส โบลไย
ปี ค.ศ.1806–1860

นิโคไล โลบาเชฟสกี
ปี ค.ศ.1792–1856

พวกเขาอธิบายโดยการสร้างตรีโกณมิติแบบใหม่ ซึ่งสามารถที่จะอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเส้นและมุมในที่ว่างแบบไฮเปอร์โบลิค ซึ่งโค้งออกจากจุดๆ เดียว

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ‘คอส’ และ ‘ไซน์’ ถูกแทนที่ด้วย ฟังก์ชันคอสไฮเปอร์โบลิคและไซน์ไฮเปอร์โบลิค

ในตรีโกณมิติแบบเดิม คอส กำลังสอง บวก ไซน์ กำลังสอง จะเท่ากับหนึ่ง

ในทางตรงกันข้าม คอสไฮเปอร์โบลิค กำลังสอง ลบ ไซน์ไฮเปอร์โบลิค กำลังสอง
จะเท่ากับหนึ่ง

เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิค เป็นเรขาคณิตที่ให้มุมมองใหม่ต่อความเข้าใจของเราต่อที่ว่างทางกายภาพ

เป็นเวลานับศตวรรษที่เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิค เป็นเพียงความรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์

แต่ในปี ค.ศ.1916 นักฟิสิกส์ทฤษฎี อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ได้ตีพิมพ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อันแปลกประหลาดพิสดาร

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์
ปี ค.ศ.1879–1955

มันบรรยายโลกในสี่มิติ ที่ซึ่งอวกาศและเวลาเป็นเส้นโค้ง และสามารถอธิบายได้ด้วยเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิค

เพราะฉะนั้นแล้ว เรขาคณิตแบบแปลกพิสดารของโบลไยและโลบาเชฟสกี ก็อาจจะสามารถอธิบายจักรวาลได้ดีกว่า เส้นตรงในเรขาคณิตแบบยูคลิด ที่เรารู้สึกเข้าใจได้โดยง่าย