ทฤษฎีตัวเลข: เกาส์

Transcript

มันจะต้องใช้เวลานานแค่ไหนในการบวกเลขจาก 1 ถึง 100

แต่สำหรับเด็กผู้ชายตัวเล็กๆ คนหนึ่ง มันใช้เวลาเพียงแค่ไม่กี่วินาที

โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
ปี ค.ศ.1777–1855

ชื่อของเขาคือ โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และเขาได้เติบโตขึ้นเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก

เขาเกิดในประเทศเยอรมนี เกาส์ได้รับการยอมรับตั้งแต่ยังเล็กๆ ว่าเป็นเด็กอัจฉริยะ

เมื่ออายุได้สามขวบ เกาส์เรียนการอ่านและการเขียนด้วยตัวเอง

และเกาส์มีชื่อเสียงจากการแก้ การคำนวณคณิตศาสตร์ที่ผิดพลาดของพ่ออยู่บ่อยๆ

เมื่อเกาส์อายุได้เพียงเจ็ดขวบ เกาส์ประสบความสำเร็จในการสามารถบวกเลขจำนวนเต็มจาก 1 ถึง 100 ได้ภายในเวลาเพียงไม่กี่วินาที หลังจากอาจารย์ประจำชั้นได้มอบหมายงานให้ทำ

ซึ่งสามารถทำได้ โดยการใช้จำนวนสามเหลี่ยม

จำนวนสามเหลี่ยม

เช่นเดียวกับการที่เลขยกกำลังสอง สามารถมองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้

จำนวนสามเหลี่ยม ก็สามารถมองเป็นรูปของสามเหลี่ยม

โดยแถวแรกของสามเหลี่ยมจะมีจุดหนึ่งจุด

และแต่ละแถวถัดมาจะมีจุดเพิ่มขึ้นแถวละจุด

จำนวนสามเหลี่ยมที่พบ จะเป็นตัวกำหนดจำนวนแถวของสามเหลี่ยม

คำตอบก็คือจำนวนของจุดทุกจุดรวมกัน หรือ คือผลบวกของลำดับตัวเลขทั้งหมด

เช่น ถ้าจะหาจำนวนสามเหลี่ยมที่หก ซึ่งคือผลรวมของเลขจำนวนเต็ม จาก 1 ถึง 6 รูปสามเหลี่ยมของจำนวนจะถูกวาดขึ้นโดยมีหกแถว

และคำตอบของผลรวมนี้คือ จำนวนของจุดทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม หรือตัวเลขสุดท้ายที่ปรากฏขึ้น

สูตรของเกาส์

วิธีการหาขนาดของจำนวนสามเหลี่ยมที่มีขนาดมากๆ โดยใช้การบวกไปเรื่อยๆ แบบนี้ต้องใช้เวลามาก

เกาส์ จึงได้สร้างสูตรในการคำนวณขนาดของเลขสามเหลี่ยมที่มีค่ามากๆ เช่น ขนาดของจำนวนสามเหลี่ยมที่หนึ่งร้อย

เกาส์รู้ว่า เมื่อวางประกบสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านละ 100 จุดเข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมที่มีความกว้างหนึ่งร้อยจุด และ ความสูง 101 จุด

หลังจากนั้น เกาส์ ก็คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมของจำนวนที่ได้

ซึ่งเมื่อเอาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่คำนวณได้หารด้วย 2 ก็จะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปที่เราต้องการ

เช่น จำนวนสามเหลี่ยมที่หนึ่งร้อย ซึ่งก็คือผลรวมของเลขจำนวนเต็มทั้งหมด นับตั้งแต่เลข 1 ไปเรื่อยๆ ถึงเลข 100

ซึ่งสูตรคำนวณที่ได้นี้ สามารถใช้ในการหาขนาดของจำนวนสามเหลี่ยมขนาดใดๆ ก็ได้

เมื่อกำหนดให้ T(n) เป็นผลรวมของเลขจำนวนเต็ม จากหนึ่ง ถึง n

ตลอดชีวิตของเกาส์ เขาได้เขียนบทความทางวิชาการไว้จำนวนมาก

แต่เกาส์ยังคงพยายามปรับปรุงบทความอยู่ตลอดเวลา และจะเผยแพร่บทความนั้นออกสู่สาธารณชน ก็ต่อเมื่อรู้สึกว่าเนื้อหาในบทความนั้นสมบูรณ์แล้ว

ซึ่งนั่นก็หมายความว่า ความคิดจำนวนมากของเขา อาจจะสูญหายไปโดยไม่ได้รับการเผยแพร่ เมื่อเขาเสียชีวิตลงในปี ค.ศ.1855

แต่หลายปีหลังจากการตายของเขา ได้มีการค้นพบบันทึกลับของเขาซึ่ง มีเนื้อหาเกี่ยวกับงานที่ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ของเขา

บันทึกนี้แสดงให้ทราบว่า เกาส์ สามารถที่จะพิสูจน์สมการพื้นฐานของพีชคณิต และ คำนิยามที่เกาส์ได้ให้ไว้สำหรับความโค้งของพื้นผิว ก็ได้วางรากฐานให้กับควอนตัมฟิสิกส์

ไม่น่าประหลาดใจเลย ที่เกาส์จะได้รับการยกย่องให้เป็น ‘เจ้าชายแห่งคณิตศาสตร์’