แฟร็กทัล: เกล็ดหิมะของกอช

Transcript

แฟร็กทัลสามารถพบได้ทั่วไปในรูปแบบที่เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ

จากเกล็ดหิมะเล็กๆ…

จนถึงการจัดเรียงตัวของจักรวาล

แฟร็กทัลธรรมชาติ

แฟร็กทัลเป็นรูปที่สามารถแยกเป็นชิ้นย่อยๆ ที่ซ้ำกันอย่างสม่ำเสมอ

ดังนั้น เมื่อรูปแฟร็กทัลถูกสร้างขึ้น โครงสร้างที่เกือบจะเหมือนเดิมก็จะปรากฏขึ้นแต่ในขนาดที่เล็กลง

เช่นเดียวกันกับพืชชนิดอื่นๆ เฟิร์นเป็นแฟร็กทัลโดยธรรมชาติ ดังนั้น ส่วนเล็กๆ ของใบก็จะเป็นสำเนาขนาดเล็กของใบทั้งใบ ซึ่งก็ไม่เหมือนซะทีเดียว แต่จะคล้ายๆ กัน

แฟร็กทัลทางคณิตศาสตร์

เช่นเดียวกับแฟร็กทัลธรรมชาติ แฟร็กทัลทางคณิตศาสตร์ก็สร้างความสวยงามน่าดึงดูดจากรูปแบบที่เกิดขึ้นซ้ำๆ

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 งานของนักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน เฮลจ์ วอน กอช แสดงถึงลักษณะของแฟร็กทัลทางคณิตศาสตร์

เฮลจ์ วอน กอช
ค.ศ. 1870–1924

เกล็ดหิมะของกอช

แฟร็กทัลของกอชถูกสร้าง โดยการทำซ้ำกฎบางชนิดอย่างต่อเนื่อง

เช่น เริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า

เอาหนึ่งในสามของแต่ละด้านออกจากตรงกลาง

แล้วแทรกสองด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าในช่องว่างแต่ละช่อง

หลังจากนั้น ก็ทำซ้ำกฎนี้กับด้านใหม่ที่เกิดขึ้นทั้งหมด

เมื่อเกล็ดหิมะก่อตัวขึ้น มันอยู่เพียงแค่ในวงกลมที่ถูกวาดรอบๆ สามเหลี่ยมต้นฉบับ

ดังนั้น พื้นที่บริเวณนี้ก็จะเป็นพื้นที่ปิด

แต่ว่ากระบวนการนี้ถูกทำซ้ำ และเส้นรอบรูปของแฟร็กทัลจะเพิ่มขึ้น 4/3 เท่าของของเดิมในแต่ละขั้นตอน

นั่นก็แปลว่า เส้นรอบรูปของแฟร็กทัลเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขีดจำกัด

ดังนั้น เกล็ดหิมะของกอช จึงมีพื้นที่จำกัด แต่มีเส้นรอบรูปที่เป็นอนันต์

เกล็ดหิมะของกอช:รูปร่างที่มีพื้นที่จำกัดแต่เส้นรอบวงเพิ่มได้อย่างไม่จำกัด

แฟร็กทัลที่เกิดตามธรรมชาติมีลักษณะเหมือนกับเกล็ดหิมะทางคณิตศาสตร์ของกอช

ถึงแม้ว่าเส้นรอบรูปของเกล็ดหิมะที่เกิดจากธรรมชาติ จะยาวเท่าที่ธรรมชาติจะสามารถทำได้เท่านั้น