คำนวณค่าพาย: อาร์คิมิดีส

Transcript

อาร์คิมีดิสอาจเป็นนักประดิษฐ์และวิศวกรที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโบราณ

อาร์คิมีดิส
287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช

โดยการนำคณิตศาสตร์มาประยุกต์ เขาได้ออกแบบเครื่องจักรที่จำเป็นในการพัฒนาอารยธรรม

แต่ผลงานทางคณิตศาสตร์ของเขามักจะเน้นไปที่รูปทรงที่เรียบง่ายที่สุด

นั่นคือวงกลม

การศึกษาวงกลมของอาร์คิมีดิสได้ให้ค่าประมาณที่ใกล้เคียงที่สุด ของค่าคงที่ที่โด่งดังที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์

นั่นคือค่าพาย

พาย (π)

พายเป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงต่อความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

แม้ว่าอัตราส่วนนี้จะเป็นที่รู้จักกันในโลกยุคโบราณ แต่พวกเขาก็ไม่ทราบว่าค่าที่แท้จริงของพายคือเท่าไหร่กันแน่

(4/3)⁴
3.16

ยกตัวอย่างเช่น ชาวอียิปต์ บรรยายค่าพายว่าเท่ากับ เศษสี่ส่วนสามยกกำลังสี่

3.16

ในระบบทศนิยมสมัยใหม่ ค่านี้ถูกประมาณว่าเท่ากับ 3.16

การคำนวณค่า Pi ที่ถูกต้องมากขึ้น

อาร์คิมีดิสรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะคำนวณค่าของค่าพายให้ละเอียดขึ้นกว่านั้น

ในการทำเช่นนั้น เขาจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของวงกลม

แต่น่าเสียดาย ก่อนหน้าที่ค่าพายจะเป็นที่รู้จักกัน การหาพื้นที่วงกลมไม่ใช่เรื่องที่ง่าย

อาร์คิมีดิสวาดวงกลมให้อยู่ภายในขอบเขตของรูปทรงสองรูปที่มีด้านตรง

เขาสามารถคำนวณหาพื้นที่ของรูปทรงทั้งสองนี้ได้ จึงทำให้ทราบว่าพื้นที่วงกลมมีค่าอยู่ระหว่างพื้นที่ของทั้งสองรูป

เมื่อเพิ่มจำนวนด้านของทั้งสองรูปทรง จาก หก...

เป็นสิบสอง

และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ทำให้อาร์คิมีดิสกระชับขอบเขตวงกลมของเขา

จนในที่สุด เขาได้ใช้รูปทรงที่มีเก้าสิบหกด้านเพื่อคำนวณขอบเขตของค่าพาย

ค่าเฉลี่ยโดยประมาณของพายที่อาร์คิมีดิสคำนวณมีค่า 3.14185 ซึ่งมีความถูกต้องมากกว่า 99%

3.14185 ถูกต้อง > 99%

นักคณิตศาสตร์ในสมัยนั้นเชื่อว่าถ้าอาร์คิมีดิสเพิ่มจำนวนด้านของรูปทรงที่ใช้ เขาจะสามารถคำนวณหาค่าที่แท้จริงของพายได้

แต่อาร์คิมีดิสได้ตระหนักในข้อเท็จจริงที่นักคณิตศาสตร์สมัยนี้ได้พิสูจน์แล้วว่า

พายมีจำนวนทศนิยมที่ขยายได้ไม่จำกัด ดังนั้น จึงไม่มีจุดสิ้นสุด