ทอพอโลยี

Transcript

ถ้าคุณวาดรูปบางอย่างลงบนแผ่นยางสักแผ่น

เมื่อแผ่นยางถูกยืด รูปร่างนั้นจะเปลี่ยนไป

แล้วมันยังคงเป็นวัตถุเดียวกัน หรือมันกลายเป็นวัตถุชิ้นใหม่ไปแล้ว?

มีสาขาวิชาคณิตศาสตร์หนึ่งที่ศึกษาว่าอะไรยังเหมือนเดิมและอะไรที่เปลี่ยนไป เนื่องจากผลของการบิดในรูปแบบต่างๆ

ทอพอโลยี

สาขานี้ถูกเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่า ‘เรขาคณิตแบบบิด’ ทอพอโลยี (Topology) เป็นการศึกษาการแปลงวัถตุจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบด้วยการโค้ง การงอ การยึดและการบีบรีด แต่ไม่ใช้การตัดหรือการฉีก

ในทางทฤษฎี ลูกอเมริกันฟุตบอลสามารถแปลงไปเป็นลูกฟุตบอลได้

และขนมปังเบเกิลสามารถเปลี่ยนรูปให้เป็นถ้วยกาแฟได้ เนื่องจากโครงสร้างทั้งสอง มีรูจำนวน 1 รูเหมือนกัน

อย่างไรก็ตาม ขนมปังเบเกิลไม่สามารถสร้างจากลูกฟุตบอลได้ เพราะว่าคุณจะต้องเจาะรูผ่านลูกฟุตบอลถึงจะทำได้

ในทางทฤษฎี วัตถุที่สามารถแปลงไปมาซึ่งกันและกันได้เรียกว่า โฮมีโอมอร์ฟิค

โฮมีโอมอร์ฟิค:
วัตถุที่สามารถแปลงไปมาซึ่งกันและกัน

ในทางตรงข้ามกับเรขาคณิตของยูคลิดที่ศึกษาเกี่ยวกับมุม ผิวหน้าและขอบของวัตถุ วิชาทอพอโลยีให้ความสนใจในเรื่องตำแหน่งที่สัมพันธ์กันและความต่อเนื่องของวัตถุ

แถบโมเบียส

ตัวอย่างเช่น แถบโมเบียส มีเพียงแค่ขอบเดียว…

และผิวหน้าเดียว

การที่ไร้ซึ่งมุม ผิวหน้าและขอบทำให้วัตถุนี้ไม่มีอะไรให้ศึกษามากมายในเชิงเรขาคณิตของยูคลิด

แต่ในเชิงทอพอโลยีนั้นรูปแบบที่จำเพาะและความต่อเนื่องของแถบมีความหมายกว่ามาก

การประยุกต์ใช้

ทอพอโลยีไม่ได้เป็นเพียงแค่ศาสตร์ที่ศึกษาแบบนามธรรม

ในความเป็นจริงแล้ว แผ่นภาพหลายแผ่นภาพสามารถถูกปรับเปลี่ยน
ด้วยทอพอโลยี เพื่อที่จะทำให้มันเข้าใจง่ายมากขึ้น โดยที่ยังคงเนื้อหาสาระไว้เหมือนเดิม

ในความเป็นจริงแล้ว แผ่นภาพหลายแผ่นภาพสามารถถูกปรับเปลี่ยนด้วยทอพอโลยี เพื่อที่จะทำให้มันเข้าใจง่ายมากขึ้น โดยที่ยังคงเนื้อหาสาระไว้เหมือนเดิม

การแปลงเส้นทางรถไฟโดยที่ไม่ต้องเปลี่ยนลำดับของป้ายหรือสถานีรถไฟที่เชื่อมต่อ มันทำให้แผนที่ดูง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ถ้าแผนที่ถูกสร้างให้มีอัตราส่วนตามระยะทางจริงแล้ว การแปลความหมายของแผนที่ต่างๆ เหล่านี้ก็จะยากขึ้น!