เซต: อนันต์

Transcript

แนวคิดในเรื่องเซตของตัวเลขที่ไม่รู้จบได้ทำให้นักคณิตศาสตร์ลุ่มหลงหลายยุคหลายสมัย

ชากกรีกยุคแรกรู้สึกพิศวงกับเรื่องนี้ และเรียกว่า อนันต์หรือไม่รู้จบ

สำหรับชายคนหนึ่งจะเดินออกจากห้อง เขาต้องเดินไปครึ่งหนึ่งของระยะทางทั้งหมด

จากนั้นอีกครึ่งของระยะทางที่เหลือ

แล้วก็อีกครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือ

ด้วยวิธีการคิดแบบนี้ เขาจะไม่สามารถออกไปจากห้องนี้ได้!

แต่ในชีวิตจริง เขาออกไปจากห้องได้แน่นอน ในกรณีนี้ การแบ่งออกเป็นจุดที่เล็กลงและเล็กลงอย่างไม่รู้จบเป็นสิ่งที่น่าสับสนสำหรับพวกเขา

แคลคูลัส

อีกหลายปีต่อมา ในคริสต์ศตวรรษที่สิบเจ็ด นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปได้ใช้ความรู้เรื่อง ไม่รู้จบ เพื่อพัฒนาแคลคูลัส

เรขาคณิต คือ การศึกษาเกี่ยวกับรูปร่าง แคลคูลัสก็คือ สาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยน

ในไม่ช้าก็เป็นที่ประจักษ์ว่า การไม่รู้จบมีสองประเภท

และความแตกต่างระหว่างสองประเภทนี้สำคัญยิ่ง

การไม่รู้จบแบบนับได้

พวกเขาได้เริ่มต้นโดยการศึกษาแนวคิดของจำนวนรู้จบ

เราจะพูดว่ามีแมวอยู่สามตัว ถ้าเรานับแมวเหล่านี้แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับตัวเลขหนึ่ง สอง สาม

เราจะพูดว่ามีกระต่ายอยู่หกตัว ถ้าหากเรานับกระต่ายเหล่านี้แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับตัวเลขหนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า และหก

หากขยายหลักการนี้ออกไปอีก เราเรียก เซตไม่รู้จบแบบนับได้ ถ้าเราจับโยงสมาชิกในเซตกับความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับตัวเลข หนึ่ง สอง สาม สี่ และอื่นๆ ต่อไป

ดังนั้น มีจำนวนเลขคู่ทั้งหมดเป็นแบบไม่รู้จบที่นับได้

และมีจำนวนเลขคี่ทั้งหมดเป็นแบบไม่รู้จบที่นับได้

การไม่รู้จบที่นับได้นี้เรียกว่า ‘อะเลฟศูนย์’

การไม่รู้จบแบบนับได้ = อะเลฟ 0

เรื่องน่าประหลาดใจที่สุดคือ มีเซตไม่รู้จบที่นับไม่ได้

การไม่รู้จบแบบนับไม่ได้

ลองดูรายการจำนวนเลขทศนิยมระหว่างศูนย์กับหนึ่งที่มีจำนวนมากเป็นอินฟินิตี้

เราย่อมสามารถสร้างตัวเลขอื่นอีกตัวที่ไม่อยู่ในรายการนี้ได้

เลือกตัวเลขแรกให้ต่างจากตัวเลขแรกของจำนวนทศนิยมแรกในรายการ

เลือกตัวเลขที่สองให้ต่างจากตัวเลขที่สองของจำนวนทศนิยมที่สองในรายการ

และต่อไปเรื่อยๆ

และในเมื่อคุณสร้างจำนวนใหม่ที่ไม่อยู่ในรายการไม่รู้จบ เซตนี้ถือว่านับไม่ได้

การไม่รู้จบแบบนับไม่ได้มีชื่อว่า “อะเลฟหนึ่ง”

การไม่รู้จบแบบนับไม่ได้ = อะเลฟ 1

อะเลฟหนึ่ง เป็นจำนวนที่สร้างแรงบันดาลใจ ซึ่งตามสมมติฐานความต่อเนื่องแล้ว คือจำนวนของจุดในจักรวาล!

หรือจำนวนของชั่วขณะหนึ่งในเวลาทั้งหมด!